O índice de Conley e perturbação de equações diferenciais

Resumo

Esse projeto tem como objetivo dar continuidade ao desenvolvimento da pesquisa que analisa o comportamento assintótico de problemas perturbados utilizando a teoria do índice de Conley. Nos concentraremos nas aplicações dos resultados obtidos no artigo The suspension isomorphism for homology index braids (aceito em Topological Methods in Nonlinear Analysis). Recordemos que o índice de Conley é uma ferramenta utilizada na análise de sistemas dinâmicos em espaços de dimensão finita e infinita. O índice de Conley se baseia na existência de vizinhanças isolantes para um conjunto invariante isolado e uma das propriedades mais importantes que torna a sua utilização bastante útil é o Princípio da Continuação. Recentemente, obtivemos um princípio de continuação singular do índice de Conley (cf. [CaRy2]). Problemas de reação-difusão definidos em domínios finos são exemplos de uma classe de problemas para os quais este princípio de continuação singular é válido (cf. [CaRy1]). A partir deste princípio, iniciamos uma investigação dos invariantes da teoria do índice de Conley que são preservados por continuação singular. Em [CaRy5] mostramos que as decomposições de Morse indexadas por conjuntos totalmente ou parcialmente ordenados são estáveis sob perturbações singulares (no sentido de [CaRy2]) e em [CaRy7] estabelecemos um resultado de continuação singular para as matrizes de conexão. Este projeto tem como objetivo geral dar continuidade ao trabalho de pesquisa iniciado em [CaRy5]. Para descrever mais precisamente e justificar nossa proposta de trabalho, a seguir, faremos uma apresentação da pesquisa desenvolvida nos últimos cinco anos. (AU)