Unidades em ordens de álgebras de dimensão finita

Resumo

No artigo \cite{jpsf}, foram classicados os grupos finitos $G$ e as extensões quadráticas $K=\Q(\sqrt{-d})$ de modo que o grupo de unidades do anel de grupo $\oo_k G$ seja um grupo hiperbólico. É conhecido que o grupo de unidades do anel de inteiros algébricos de $(\frac{-1,-1}{K})$ é um grupo co-compacto e discreto, quando $d \equiv 7 \pmod 8$ e $K$ é imaginária. Definindo-se para este grupo uma relação de equivalência a partir de uma imersão conhecida por {\it raio (em um espaço topológico $X$)}, mostramos que existe uma única classe de equivalência. Nestas condições, dizemos que o número de Fins deste grupo é $1$. Nos artigos \cite{ijsf,ijsii}, foram classificadas as álgebras $A$ associativas de dimensão finita sobre $\Q$ com a propriedade que para qualquer $\Z$-ordem $\Lambda \subset A$, o grupo de unidades $\U(\Lambda)$ não contenha subgrupo isomorfo a um grupo livre abeliano de posto dois. Esta condição é denominada {\it propriedade hiperbólica}. Recentemente este resultado foi estendido para as álgebras alternativas de dimensão finita sobre $\Q$, veja artigo \cite{jposf}. Como consequência deste resultado, mostramos que, embora não-associativa, o radical da álgebra está em seu associador. A partir dos resultados obtidos, determinadas questões permanecem não respondidas. Por exemplo, se $G$ é um grupo finitamente gerado, embora o número de fins de $G$ seja $0,1,2$ ou $\infty$ queremos calcular o número de fins de certas classes de grupos como fizemos para o grupo de unidades do anel de inteiros algébricos de $(\frac{-1,-1}{K})$, para $d \equiv 7 \pmod 8$. Também nos interessa conhecer as álgebras $A$ de dimensão finita com a propriedade hiperbólica e cujo grupo de unidades das $\Z$-ordens da álgebra seja um grupo hiperbólico. Outra questão de interesse é a classificação dos grupos finitos $G$, cujo grupo de unidades $\U(\Z G)$ não tenha subgrupos isomorfos a um grupo abeliano de posto $3$. Relacionado a esta questão, também parece importante determinar a estrutura das álgebras alternativas de dimensão finita sobre os racionais cujo radical esteja no associador da álgebra. Também estamos concluindo um dos problemas apresentados no projeto $2008/57930-1$ sobre geradores de grupo de unidades do anel de inteiros $\Gamma_d=\h(\Z(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}))$ da álgebra de quatérnios sobre $\Q(\sqrt{-d})$, em que $d \equiv 7 \pmod 8$. Problemas desta natureza têm sido objeto de pesquisa há anos e apenas recentemente, no artigo \cite{cjlr}, pela primeira vez apresentado os geradores quando $d=7$ . Utilizando um método relacionado à construção de um domínio de Ford, em nosso trabalho, apresentamos uma formulação que permite determinar os geradores para o grupo de unidades $\U(\Gamma_d)$. Explicitamos exemplos para os casos $d=15$ e $d=23$. (AU)