Teoria de ordenabilidade para os grupos de tranças em superfícies e para os grupos de Link-Homotopia de enlaçamentos de intervalos generalizados em superfícies. Teorema da representação para os grupos de Link-Homotopia de enlaçamentos de intervalos

Resumo

Em 1925, Artin introduziu o estudo de tranças (braids), o qual se relaciona profundamente com o estudo de nós e enlaçamentos (links). Dois resultados importantes obtidos por Artin foram os teoremas da apresentação e da representação dos grupos de tranças: o primeiro, fornece uma apresentação para o grupo das tranças no disco, que consiste em conhecer o grupo através dos seus geradores e das possíveis relações entre seus elementos.O segundo resultado, tão importante quanto, nos dá um isomorfismo do grupo de tranças em n-cordas no disco com um subgrupo de um grupo livre de posto n. A teoria de tranças se desenvolveu em várias direções com os trabalhos de Alexander, Markov, Birman, Rolfsen, Gonzalez-Meneses, Bellingeri e outros. Mais recentemente, uma das áreas de pesquisa que tem se desenvolvido é o grupo de tranças em superfícies. A teoria de tranças em superfícies está sendo bem desenvolvida: o teorema da apresentação para os grupos de tranças em superfícies, equivalente ao teorema da apresentação para o grupo das tranças no Disco feito por Artin, foi feito por Gonzalez-Meneses. Nesse artigo, ele estuda as apresentações dos grupos de tranças em superfícies orientáveis de gênero g maior ou igual a 1 e para superfícies não orientáveis de gênero g maior ou igual a 2.O teorema da representação dos grupos de tranças em superfícies equivalente ao teorema da representação para o grupo de tranças no disco foi feito por Bardakov e Bellingeri.Agora, para a teoria de ordenabilidade de grupos, Rolfsen, Dynnikov, Dehornoy e Wiest, mostraram que o Grupo das Tranças no Disco é ordenável à esquerda, ou seja, existe uma ordem linear estrita à esquerda para tal grupo. Além disse, eles mostraram que o grupo das tranças puras no disco é bi-ordenável, ou seja, existe uma ordem linear e estrita à esquerda e à direita para tal grupo.Além das tranças vale a pena citar os enlaçamentos de intervalos generalizados. Informalmente, podemos dizer que um enlaçamento de intervalo generalizado é um tipo de generalização de uma trabça. Para a primeira, consideramos a relação de equivalência de link-homotopia e para a segunda, consideramos a relação de equivalencia de isotopia. A segunda é mais fraca que a primeira e, desta forma, conseguimos propriedades e resultados bem interessantes.Uma das características da link-homotopia é permitir que uma dada corda do enlaçamento de intervalo considerado tenha autointerseção, ou seja, permitir que ele tenha um número finito de autocruzamentos. Vamos considerar aqui outra definição: dizemos que um enlaçamento de intervalo generalizado é de segundo tipo quando permitimos que as autointerseções de uma corda do enlaçamento de intervalo considerado seja substituída por um segmento trivial. No doutorado da aluna mencionada, ela prova que o conjunto dos enlaçamentos de intervalos com a operação dos grupos de trança, chamada de operação concatenação, dá origem a um grupo. Esse grupo chamamos de Grupos de Link-Homotopia de Enlaçamentos de Intervalos Generalizados. Além disso, ela encontra uma apresentação para ele.Neste projeto de pesquisa, pretendemos desenvolver generalizações dos resultados mencionados acima. Mais especificamente, temos como meta a abordagem dos seguintes problemas relacionados a este tema: 1. Teorema da Representação para os Grupos de Link-Homotopia de Enlaçamentos de Intervalos Generalizados. 2. Estudar a possibilidade do conjunto dos enlaçamentos de intervalos generalizados de segundo tipo, com a operação concatenação (a operação do grupo das tranças e do grupo dos enlaçamentos de intervalos generalizados) ser um grupo bem definido e encontrar uma apresentação e uma representação para o mesmo. 3. Provar que o Grupo de Tranças em Superfícies é ordenável. 4. Provar que o Grupo de Link-Homotopia de Enlaçamentos de Intervalos Generalizados é ordenável à esquerda. (AU)