Análise harmônica e polinômios ortogonais multivariáveis

Resumo

O objetivo deste projeto é desenvolver pesquisa sobre dois tópicos em Análise Harmônica e Funções Especiais, sendo a ênfase especial do segundo aplicações em Física Matemática. Um recente trabalho do proponente revela mais uma estreita relação entre a Mecânica Estatística e Polinômios Ortogonais. A função partição na Mecânica Estatística pode ser considerada com transformada de Laplace bilateral de uma medida Borel. Portanto as propriedades de todos os modelos importantes podem ser estudadas com sucesso através de propriedades das transformadas de Laplace e de Fourier. Uma caracterização interessante das chamadas medidas de Lee-Yang, foi obtida recentemente pelo proponente, em termos de Wronskianos dos polinômios que são ortogonais com respeito a medida. Posteriormente os Wronskian podem ser "simetrizados" para obtermos polinômios de muitas variáveis que são simétricos com relação das suas variáveis e possuem certas propriedades de ortogonalidade. Acontece que os polinômios de muitas variáveis obtidas desta forma são funções-onda de sistemas quânticos de muitas partículas. Enquanto esta relação surpreendente entre noções fundamentais da Mecânica Estatística e Mecânica Quântica, a função partição e a função onda. Ainda necessita de ser compreendida do ponto de vista da Física, o estudo dos polinômios multivariáveis simétricos, representados em forma de determinantes, compostos por polinômios ortogonais, é de interesse do ponto de vista matemático. Outra questão interessante que surge e que será discutida é a possibilidade de fazer análise espectral através da transformada de Fourier. A abordagem clássica e através da transformada de Stieltjes da correspondente medida de Borel. O segundo tópico, que será discutido com membros do Grupo de Pesquisa em Análise Funcional do Departamento de Matemática, do ICMC de São Carlos, da Universidade de Paulo, é sobre funções positivas definidas. O grupo está interessado em estender alguns resultados clássicos de Pólya que valem em esferas de dimensão pequena para qualquer esfera $n$-dimensional. (AU)