Equações da onda com velocidade de propagação, massa e dissipação dependentes do tempo.

Resumo

Neste projeto, estamos interessados em estimativas do tipo dispersiva e Strichartz para a equação da onda linear com velocidade de propagação, massa e dissipação dependentes do tempo. Vamos assumir uma regularidade adequada e um controle das oscilações quando $t \rightarrow\infty$. A interação dos coeficientes dependentes do tempo será analisada para controlar sua má influência no comportamento assintótico, ou objetivando melhores decaimentos. Uma das abordagens consiste no desenvolvimento de uma análise WKB adequada e no uso do framework $L^p-L^q$. Também exploraremos outros níveis de regularidade e potenciais via uma análise em espaços de análise harmônica do tipo Marcinkiewicz, de Herz, de Triebel-Lizorkin e de Besov, entre outros. Pretendemos usar tais estimativas no estudo de problemas não-lineares. Particularmente, estamos interessados em provar resultados de existência global de soluções (possivelmente com condição de pequenez) e investigar resultados de \textit{blow-up} e equações com potenciais com múltiplas singularidades. Desta forma, métodos para mostrar optimalidade devem ser desenvolvidos.