Simetrias de Lie na Propagação de Ondas em Estruturas

Resumo

No primeiro ano do projeto de IC FAPESP associado ao processo 2016/22473-6, o bolsista Afonso Nunes realizou um estudo detalhado da teoria de Lie para a solução de equações diferenciais a partir da extração de geradores de simetria, ou seja, da obtenção de transformações nas variáveis buscando tornar o resultado invariante. Estas transformações são feitas para obtenção de integrais primeiras, conhecidas também como constantes de movimento, redução de ordem e obtenção da própria solução por quadratura. Na ocasião, estudamos a aplicação destas técnicas para tratar o problema de viga de Euler-Bernoulli nos casos estáticos e dinâmicos, inclusive propondo um novo método para cálculo da deflexão que está sob avaliação para publicação em periódico neste ano. Visto o bom desempenho do bolsista no período, propõem-se para o segundo ano de IC iniciar um estudo envolvendo a aplicação em equações diferenciais parciais, e para isto escolheu-se a aplicação em problemas de propagação de ondas elásticas em estruturas. Assim, buscará-se estudar as simetrias de Lie existentes nas equações da onda unidimensional e tridimensional. Após obter as simetrias e as constantes de movimento à essas associadas, as soluções por meio da aplicação do teorema fundamental de Lie serão obtidas e analisadas. A justificativa para este estudo é o crescente interesse na literatura em projetar estruturas periódicas como forma de redução de vibrações, onde padrões de repetição e efeitos de simetria, em especial radial ou com geometria simétrica, tem um papel de grande importância na atenuação da propagação de ondas, além da própria aplicação na redução de modelos que facilita a implementação numérica. Porém, não se observa na literatura o uso das simetrias de Lie ou outras simetrias generalizadas para a redução da ordem antes da aproximação numérica para redução de custo computacional e a sua aplicação em exemplos onde não exista uma perfeita simetria radial ou exista quebra de periodicidade, como alguma descontinuidade presente, por exemplo. Neste sentido, esta continuação da IC do bolsista Afonso Nunes representa um ponto de partida para um caminho natural de pesquisa, visando prepará-lo para contribuir nesta área com um futuro estudo a nível de pós-graduação ao fim desta IC. Também vale destacar a colaboração neste projeto do Prof. Jean-Mathieu Mencik do INSA Centre Val de Loire, França, destacada no presente plano de trabalho e anexa nos documentos complementares da FAPESP.