Bifurcações de toros invariantes acoplados e conjuntos invariantes no sistema de Lotka-Volterra

Resumo

Na primeira parte deste projeto estudaremos sistemas na forma normal para aplicar a teoria averaging. Buscaremos apresentar condições genéricas para o sistema promediado de modo que toros invariantes acoplados bifurquem no sistema original. Nossa abordagem para este fim será estudar as bifurcações de Chenciner no mapa de Poincaré do sistema original. Os resultados obtidos serão usados para estudar a bifurcação de toros invariantes em alguns sistemas diferenciais importantes, como o sistema de Coullet, o sistema generalizado de Van der Pol-Duffing e o sistema de Lotka-Volterra generalizado tridimesional. Na segunda parte deste projeto um estudo aprofundado da dinâmica do sistema de Lotka-Voltera será desempenhado. Primeiramente usaremos o método de Darboux para classificar suas superfícies algébricas invariantes e estudar sua integrabilidade. Em seguida, investigaremos bifurcações de toros. Finalmente, usaremos resultados recentes da teoria averaging para estudar a bifurcações de órbitas periódicas partindo de pontos de equilíbrio do tipo zero-Hopf no sistema de Lotka-Volterra. (AU)