Conjuntos Invariantes em Sistemas Dinâmicos Diferenciais: Órbitas Periódicas, Toros Invariantes e Superfícies Algébricas.

Resumo

O presente projeto de pesquisa possui três vias principais de trabalho. Primeiro desenvolveremos resultados no contexto da teoria de averaging para detectar órbitas periódicas. Este método tem se convertido em umas das principais técnicas para detectar órbitas periódicas em sistemas de equações diferenciais. Recentemente procedimentos como o grau de Brouwer e a redução de Lyapunov-Schimdt foram incorporados a teoria aumentando amplamente a gama de sistemas de equações diferenciais para o qual o averaging se aplica. Nosso propósito é fornecer um critério para determinar a estabilidade de órbitas periódicas não hiperbólicas detectadas pelas versões mais recentes do teorema de averaging. Além disso, vamos aprimorar a teoria de averaging para que possamos detectar bifurcação de toros em sistemas diferenciais planares não autônomos e sistemas autônomos tridimensionais. Essas bifurcações são conhecidas como bifurcações de Neimark-Sacker e mostraremos que elas podem ser precisamente detectadas usando a teoria de averaging.Por fim, vamos utilizar as superfícies invariantes de um dado sistemas de equações diferenciais para descrever sua dinâmica dando, inclusive, uma descrição do comportamento de suas órbitas no infinito. Isso será feito utilizando o conceito de polinômios com peso, o método das curvas características e compactificação de Poincaré. Todos os resultados teóricos aqui desenvolvidos serão aplicados para o estudos de sistemas físicos relevantes, como por exemplo o sistema de Rossler, de Maxwell-Bloch e o sistema generalizado de Van der Pol Duffing. Este projeto conta com a colaboração de renomados pesquisadores do Brasil, Espanha e Portugal.