Sobre a geometria de subvariedades no espaço de Minkowski

Resumo

Nos espaços Euclidianos $R^n$, n=3,4,5, muitos trabalhos exploram a geometria de superfícies, através do estudo das singularidades das Equações Diferenciais Binárias (EDBs) provenientes das curvas assintóticas, linhas de curvatura, e curvas características das superfícies. Recentemente foram construídas, para superfícies em $R^3$, duas famílias naturais a1-parâmetro de EDBs, $C_alpha$, que relaciona a EDB de curvas assintóticas e a EDB de linhas de curvaturas, e $R_{alpha}$, relacionando a EDB de curvas características e a EDB de linhas de curvatura. As famílias são construídas usando o ângulo entre uma direção em um plano tangente da superfície e sua direção conjugada com respeito à segunda forma fundamental. As três EDBs (de linhas assintóticas/curvatura/características) acima podem ser associadas com qualquer operador auto-adjunto $\mathbb A$ sobre uma superfície Riemaniana ou Lorentziana $M$. Quando $M$ é Riemaniana, as famílias $C_{alpha}$ e $R_{alpha}$ estão bem definidas e têm um comportamento igual ao caso de superfícies no espaço Euclidiano $ R^3$. Dado um operador auto-adjundo $\mathbb A$ sobre uma superfície Lorentziana, definimos (como F. TAri) em um artigo recente famílias naturais $\mathcal{LC}_{\alpha}$ (resp. $\mathcal{LR}_{\alpha}$),que relaciona a EDB de curvas $\mathbb A$-assintóticas e a EDB de linhas de $\mathbb A$-curvatura(resp. a EDB de curvas $\mathbb A$-características e a EDB de linhas de $\mathbb A$-curvatura). As famílias são construídas usando o ângulo hiperbólico entre uma direção em um plano tangente da superfície e sua direção $\mathbb A$-conjugada. O problema aqui, é que o ângulo não está definido se uma direção é lightlike. Obtivemos resultados muito interessantes sobre as famílias $\mathcal{LC}_{\alpha}$ e $\mathcal{LR}_{\alpha}$ que não aparecem no caso onde a superfície é Riemaniana. Nossos resultados têm aplicações, por exemplo, na geometria de superfícies timelike no espaço de Minkowski $R^3_1$ e no espaço de Sitter $S^3_1$. Neste caso, o operador auto-adjunto é dado pela aplicação de Gauss (ver os trabalhos recentes de S. Izumiya e seus colaboradores sobre a aplicação da teoria de singularidades ao estudo da geometria de subvariedade sem espaços de Minkowski $R^n_1$). Nosso objetivo é dar continuidade ao trabalho de nosso último artigo (já aceito para publicação). (AU)