Algumas classes de sistemas de Choquard-Schrödinger: Existência, multiplicidade e propriedades de soluções

Resumo

Este projeto destina-se ao estudo de algumas classes de sistemas do tipo Choquard e Choquard-Schröndiger em dimensões maiores ou iguais a 1. Estudaremos a existência e multiplicidade de soluções para sistemas com núcleos de Riesz e núcleo indeterminados com crescimento logarítmico. Focaremos, principalmente, em soluções especiais, por exemplo do tipo ground state, nodais de energia mínima e no nível do Passo da Montanha. Tal interesse surge por motivações físicas de tais soluções, são as soluções naturais dos problemas, e consequente busca dentro da comunidade matemática por soluções desses tipos. Além disso, estudaremos propriedades dessas soluções, tais como sinal, decaimento e simetria. Os problemas que abordaremos apresentam novas dificuldades devido a presença de um núcleo indeterminado e exigem a procura por novos métodos, por exemplo acerca da limitação e convergência de sequências especiais de funções relacionadas aos problemas. Superadas tais barreiras, estes resultados representarão um avanço no estudo de sistemas de Choquard. Mais ainda, nossas hipóteses permitirão não linearidades de crescimento crítico, o que por um lado aumenta a dificuldade para a obtenção de soluções, e por outro deixa os resultados mais interessantes e gerais.