Soluções Globais para Equações de onda Semi-lineares com coeficientes variáveis

• Processo: 10/10520-3
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Regular
• Data de Início da vigência: 01 de setembro de 2010
• Data de Término da vigência: 31 de agosto de 2012
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Análise
• Pesquisador responsável: Marcelo Rempel Ebert
• Beneficiário: Marcelo Rempel Ebert
• Instituição Sede: Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto (FFCLRP). Universidade de São Paulo (USP). Ribeirão Preto , SP, Brasil
• Assunto(s): Equações diferenciais parciais
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Cauchy Problem | Energy estimates | Equações de onda Semi-lineares | global existence | small data solutions | Equações Diferenciais Parciais

Resumo

É conhecido pela literatura de equações diferencias ordinária não lineares, que a solução do problema de Cauchy blows-up em tempo finito, mesmo para dados iniciais arbitrariaremente pequenas.Recentemente, K. Yagdjian ( veja [Y] no projeto de pesquisa) observou, usando a teoria de Floquet, que oscilações nos coeficientes pode ter influência negativa na existência de soluções globais.Mais precisamente, provou que a solução do problema de Cauchy blows-up em tempo finito, para uma classe de equações de onda semi-lineares com coeficiente oscilando, mesmo para dados iniciais com normas arbitrariaremente pequenas. Um fenômeno análogo ocorre se o coeficiente decresce para zero quando a variável temporal tende ao infinito. A partir daí, foram apresentadas por vários autores, condições suficientes para obtermosa existência de soluções globais para essa classe de equações de onda semi-lineares, assumindo dados com normas suficientementepequenas. Essas condições são similares as assumidas em trabalhos de M. Reissig e K. Yagdjian para obter-se estimativas de energia conhecidas como Strichartz-type decay estimates, para a equação da onda com coeficientes variáveis. Temos ainda outros problemas relacionados: i) Existência de soluções locais para equações hiperbólicas com coeficientes não Lipschitz contínuo; ii)Generalização da propriedade de consevação de energia quando a variável temporal tende ao infinito.Alguns perguntas surgem de maneira natural nos problemas de existência de soluções globais: i) Adicionado um termo de dissipação nas equações de onda semi-lineares, o que podemos esperar sobre existência de soluções globais? O mesma pergunta se faz no caso de permitirmos linearidadesmais gerais. ii) Discutir sobre a optimalidade dos resultados, ou seja, as hipóteses assumidas nas condições suficientes são necessárias;Nesse projeto pretende-se discutir alguns dos problemas citados acima. Possíveis colaboradores são os Professores Michael Reissig, Rafael Augusto dos Santos Kapp, José Ruidival dos Santos Filho, Marcello D'Abbicco. (AU)