Transição das medidas finitas para as infinitas em sistemas dinâmicos

• Processo: 09/17358-0
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Pesquisador Visitante - Internacional
• Data de Início da vigência: 01 de fevereiro de 2010
• Data de Término da vigência: 30 de dezembro de 2010
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática
• Pesquisador responsável: Albert Meads Fisher
• Beneficiário: Albert Meads Fisher
• Pesquisador visitante: Marina Talet
• Instituição do Pesquisador Visitante: Université de Provence, França
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 06/03829-2 - Dinâmica em baixas dimensões, AP.TEM
• Assunto(s): Sistemas dinâmicos (matemática) Teoria ergódica Intercâmbio de pesquisadores
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: adic transformation | almost-sure invariance principle | Brownian Motion | fractal geometry | horocycle flow | indifferent fixed point | infinite invariant measure | interval exchange transformation | log density | Mackey range | maps of the interval | Mittag-Leffler process | renewal process | stable process | Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica; Probablidade

Resumo

Neste projeto estudamos medidas infinitas para sistemas dinâmicos, em casos onde a ocorrência da medida infinita pode ser explicada geometricamente em termos de uma estrutura fractal dos tempos de retorno. Estamos especialmente interessados em entender a transição de medidas finitas as infinitas. Tem dois aspectos principais do projeto: o desenvolvimento de ferramentas necessárias da teoria ergódica e da teoria das probabilidades, e a aplicação destas ferramentas no estudo de alguns exemplos interessantes. O primeiro objetivo da visita da Profa. Talet é concluir a redação do artigo “Log average ergodic theorems and asymptotic self-similarity for renewal flows” (atualmente com 45 páginas escritas), com o fim de submetê-lo. Neste trabalho, demos continuidade aos artigos recentemente submetidos: “Dynamical attraction to stable processes” (42 p) e "Self-similar dynamics of renewal processes" (27 p). Nosso segundo objetivo é completar um artigo em conjunto com Artur Lopes sobre uma família parametrizada de aplicações do intervalo com um ponto fixo neutro. Esta família exibe uma transição de medidas finitas as infinitas enquanto o valor do parâmetro é mudado. Este trabalho usa os três artigos previamente citados. A próxima parte do projeto envolve difusões dentro de um meio aleatório, uma área de especialização da Pro fa. Talet. Nosso ponto de partida é a observação que as mudanças de fase que ocorrem na família de aplicações com ponto fixo neutro são uma reminiscência de alguns comportamentos de difusões e também passeios em meio aleatório. Esperamos aplicar nossos métodos ambos ergódicos e probabilistas a fim de estudar esta nova coleção de exemplos. Na última parte do projeto, pretendemos trabalhar com sistemas dinâmicos muito diferentes: transformações ádicas, transformações de intercâmbios de intervalos, e fluxos horocíclicos onde encontramos medidas infinitas não-clássicas relacionadas com a geometria fractal. Este trabalho usa os artigos publicados em 2009, “Nonstationary mixing and the unique ergodicity of adic transformations”, A. M. Fisher, (56 p, Stochastics and Dynamics) e “Some (non-)uniquely ergodic adic transformations” S. Ferenczi, A. M. Fisher e M. Talet. (27 p, Journal d'Analyse Mathématique). (AU)