Curvas e Introdução à Teoria de Singularidades

• Processo: 18/18791-8
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de outubro de 2018
• Data de Término da vigência: 31 de maio de 2019
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Maria Aparecida Soares Ruas
• Beneficiário: Amanda Dias Falqueto
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 14/00304-2 - Singularidades de aplicações diferenciáveis: teoria e aplicações, AP.TEM
• Assunto(s): Topologia geométrica Singularidades Teoria das singularidades Espaço euclidiano Análise geométrica
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Curvas | singularidades | teoria de contato | Teoria de Singularidades

Resumo

A teoria de singularidades permite um estudo muito rico das propriedades geométricas de curvas, famílias de curvas e superfícies, que complementa com sucesso a abordagem clássica da geometria diferencial. O objetivo deste projeto é introduzir a aluna à teoria de singularidades, através da aplicação desta teoria ao estudo da geometria diferencial das curvas em espaços Euclidianos. Outros aspectos importantes consistem em despertar o interesse da aluna para o curso de pós-graduação e prepará-la para a execução do mesmo, desenvolvendo habilidades essenciais como leitura e entendimento de textos em inglês, elaboração e escrita de textos em LATEX, que possui uma linguagem própria e universal imprescindível para textos que incluem fórmulas matemáticas, e elaboração de figuras e cálculos complementares, por exemplo, nos softwares Maple ou Wolfram. Propomos o desenvolvimento dos seguintes tópicos:1. Funções vetoriais e curvas em Rn - conceitos elementares. Reparametrização, parametrização por comprimento de arco. Teoria local de curvas planas - referencial de Frenet, curvatura, fórmulas de Frenet. Teorema fundamental das curvas planas. Teoria local de curvas espaciais - referencial de Frenet, curvatura, torção, fórmulas de Frenet, plano osculador, retificante e normal. Exemplos e figuras.2. Noções básicas de singularidades: funções definidas em curvas; estudo de funções altura e distância ao quadrado sobre curvas planas e espaciais. Teoria do contato. Equivalência à direita; Lema de Hadamard - classificação de singularidades; funções chatas; jatos. Exemplos.3. Noções do software Wolfram ou similar para plotar curvas e elementos estudados acima. Poderá ser necessário também trabalhar com o software Mayura ou similar para melhorar figuras ilustrativas. Observamos que a bolsa é por 9 meses devido à finalização do projeto temático. Este projeto atual corresponde ao projeto Introdução à Teoria de Singularidades como uso do Programa Transversal, que faz parte dos projetos de iniciação científica aprovados no Projeto Temático. A diferença entre os dois projetos é devido a mudança da escolha do software. Como a aluna está no segundo ano da graduação em matemática, os softwares Maple ou Wolfram são mais apropriados para esta fase.