Hipersuperfícies mínimas completas em espaços simétricos não-compactos

Resumo

Os invariantes locais clássicos de uma subvariedade de uma forma espacial são a primeira forma fundamental, os operadores de forma e a conexão normal induzida. Eles determinam a subvariedade a menos de uma isometria do ambiente. Subvariedades isoparamétricas de formas espaciais são as subvariedades com os invariantes mais simples. A saber, uma subvariedade com curvaturas principais constantes de uma forma espacial é uma subvariedade cujas curvaturas principais ao longo de um campo normal paralelo ao longo de uma curva suave por partes são constantes. Uma subvariedade isoparamétrica de uma forma espacial é uma subvariedade com curvaturas principais constantes que tem fibrado normal raso. Questões sugeridas para investigação.1.Uma hipersuperfície isoparamétrica compacta de uma hiperesfera do espaço Euclidiano pode ser descrita como um conjunto de nível de um polinômio isoparamétrico que satisfaz as chamadas equações de Cartan-Münzner. Propõe-se estudar esse sistema de equações do ponto de vista de equações diferenciais parciais. Por exemplo, estudar a linearização desse sistema com vistas a contribuir para o problema de classificação que ainda não está completamente resolvido. 2. As equações de Cartan-Münzner foram generalizadas para subvariedades isoparamétricas de ambientes mais gerais. Em particular, o problema do item anterior pode ser considerado também no contexto de subvariedades equifocais de espaços simétricos de tipo compacto.3. Usar o método do referencial móvel para estudar hipersuperfícies isoparamétricas de esferas com todas as multiplicidades de curvaturas principais iguais a um.a. Fornecer uma demonstração alternativa de homogeneidade no caso de g=6 curvaturas principais distintas.b. Fornecer uma demonstração alternativa de que o número g de curvaturas principais distintas devem ser igual a 1, 2, 3, 4 ou 6. 4. Estudar hipersuperfícies isoparamétricas de espaços de Hilbert com todas as multiplicidades iguais a um (usar o método do referencial móvel).5. Estudar subvariedades equifocais de espaços simétricos de tipo compacto com todas as multiplicidades iguais a um (usar a relação entre subvariedades isoparamétricas de espaços de Hilbert e subvariedades equifocais de espaços simétricos de tipo compacto). (AU)