Continuação dos grafos abstratos de Lyapunov e o número máximo das variações dos números de Betti

Resumo

O estudo de um sistema dinâmico é geralmente dividido em duas partes: o comportamento do tipo gradiente e o comportamento do conjunto recorrente por cadeia. Grafos de Lyapunov rotulados são objetos combinatoriais introduzidos por Franks para entender interações entre essas duas características do mesmo sistema dinâmico. Em particular, a escolha dos rótulos depende da natureza das interações que queremos estudar. Bertolim, de Rezende e Mello apresentaram resultados de continuação de um grafo abstrato de Lyapunov a um grafo abstrato do tipo Morse, onde as arestas foram rotuladas pelos números de Betti do conjunto de nível associado, enquanto que o vértices foram rotulados em uma forma um pouco mais técnica baseada na teoria do índice de Conley. As demonstrações foram feitas utilizando técnicas da teoria de fluxo de rede. Neste mesmo trabalho foi mostrado que a continuação não é única e todas as possíveis continuações foram calculadas sistematicamente. Num trabalho posterior dos mesmos autores, ainda com as mesmas técnicas combinatoriais provindas da teoria de fluxo de rede, foi mostrado que a continuação de um grafo é uma condição necessária para que o mesmo seja realizado como um fluxo em alguma variedade. Ou seja, um estudo combinatorial produziu implicações topológicas importantes. Cabe ressaltar que estudar as interações entre as propriedades de grafos abstrato de Lyapunov registradas em seus rótulos têm consequências topológicas e dinâmicas, e.g., a saber quando um grafo abstrato de Lyapunov pode ser realizado como um fluxo em alguma variedade. Mais ainda, quando um grafo é admissível a uma realização, esta realização pode ser construída através de colagens de alças, ou seja, neste caso o grafo pode ser sistematicamente associado a uma decomposição de alças. Um artigo de Ogasa apresenta um invariante topológico que consiste em decompor a variedade com o menor número possível de alças e em seguida considerar a soma de todas as variações dos números de Betti uma vez que uma alça é colada, ou seja, a soma das variações em cada nível. O invariante de Ogasa é definido como máximo entre essas somas em cada nível. Aparentemente, em dimensões baixas, este estudo é importante em teoria quântica no estudo de diagramas de Feynman. Como cada aresta do grafo é rotulada com os números de Betti e como para cada grafo admissível à uma realização pode ser associado a uma decomposição em alças, inspirados no trabalho de Ogasa, podemos definir de forma abstrata o número de Ogasa associado ao grafo abstrato de Lyapunov. Dessa forma, em linhas gerais nosso objetivo neste projeto é enriquecer os rótulos dos grafos abstratos de Lyapunov com o número de Ogasa e estudar as implicações nas continuações deste grafo. Nosso estudo será feito de forma combinatorial por meio das técnicas da teoria de fluxo de rede, dando continuidade às técnicas já utilizadas anteriormente. Do ponto de vista combinatorial nossa expectativa é que essas implicações possam restringir o número de continuações podendo ainda garantir unicidade. Esse estudo combinatorial certamente produzirá interpretações das implicações dinâmica e topológicas como já ocorreu em trabalhos anteriores acima citados. (AU)