Análise global de sistemas diferenciais polinomiais definidos no espaço R3

Resumo

Com o presente projeto de pesquisa propomos a análise global de sistemas diferenciais polinomiais definidos no espaço R3, tanto abstratos quanto provenientes da modelagem matemática de fenômenos naturais (Física, Biologia, Engenharias). A técnica de análise global proposta consiste basicamente de três etapas: 1) determinação de integrais primeiras e superfícies algébricas invariantes (polinômios de Darboux); 2) compactificação de Poincaré, que permite a extensão dos sistemas a um sistema analítico definido na bola fechada de raio um no R3 (bola de Poincaré), cuja fronteira, a esfera S2 (esfera de Poincaré), é invariante pelo fluxo do sistema estendido e representa os pontos do R3 no infinito; 3) estudo da dinâmica das soluções nas superfícies invariantes, análise de comoestas superfícies se encaixam no interior da bola de Poincaré, estudo dos "fins" destas superfícies, e consequentemente da dinâmica das soluções na esfera de Poincaré (no infinito).O tipo de análise proposto permite descrever estruturas globais importantes dos sistemas polinomiais no R3. Além disso, um estudo analítico/numérico mostra que pequenas perturbações destas estruturas, variando-se parâmetros envolvidos nos sistemas, podem levar à criação de atratores estranhos e ao consequente comportamento caótico das soluções. Tais estruturas constituem, assim, um importante ponto de partida para o entendimento do complicado comportamento das soluções dos sistemas diferenciais polinomiais definidos no R3. No estudo proposto serão utilizados os resultados clássicos da teoria qualitativa e das bifurcações das equações diferenciais ordinárias, combinados com simulações numéricas utilizando o software MAPLE. (AU)