Inferência não paramétrica para dados funcionais: função de auto-covariância, classificação e aglomerados

Resumo

Recentemente, com o advento de novas tecnologias, dados funcionais tem sido observados e coletados com mais frequência em diferentes áreas da ciência e tecnologia. Embora os dados sejam coletados como um vetor, a sua natureza funcional tem de ser levada em consideração. Além disso, em Análise de Dados Funcionais (FDA), existem situações em que é preciso acessar informações a partir de diferentes fontes ou diferentes grupos / classes / categorias de curvas. Em outras palavras, a classificação e agrupamento são necessários, como são em várias áreas da ciência e tecnologia. No entanto, em FDA a natureza funcional dos dados precisa ser preservada. Por razões teóricas e práticas, a estimativa da função de auto covariância vem atraindo a atenção de engenheiros, metereologistas, cientistas e de muitos outros profissionais. Mais ainda, sabe-se que, em Problemas de aprendizagem estatística de máquinas, em especial em aprendizado supervisionado (classificação), existe a necessidade de se obter uma função núcleo (Kernel Function) que satisfaça as condições de Mercer para operadores (ver \cite{wahb:1990}). É fácil mostrar que a função de covariância, sob hipótese de Processo Gaussiano, satisfaz completamente estas condições. Consequentemente, o desenvolvimento de bons, em algum sentido, procedimentos automáticos, apenas (quando possível) usando informações provenientes dos dados, para estimar a função de covariância se faz necessário para diferentes tipos de Processos Estocásticos além do Gaussiano. Existem muitas aplicações em que a estimativa da função de covariância espaço-temporal é necessária. Por exemplo, problemas de classificação de imagens. Em aprendizado supervisionado e em muitos procedimentos de classificação, a noção de similaridade entre pontos observacionais é crucial. A suposição básica de similiaridade, em um modelo clássico de regressão, sugere que as entradas X'X que estão perto tendem a ter semelhante valores Y . Assim, pontos de treinamento que estão perto de um ponto de teste devem ser informativos sobre a previsão naquele ponto. Sob a suposição de Processos Gaussianos sua função de covariância define proximidade ou similaridade. Além disso, o estudo das técnicas de dados funcionais espaciais tem atraído recentemente o interesse dos pesquisadores em análise de dados funcionais, devido ao fato de que muitas aplicações reais lidam com dados que são observados no espaço que muda continuamente no tempo. Este é o caso quando as amostras de funções são observadas em diferentes locais de uma região. A modelagem para este tipo de estrutura se faz relevante para desenvolvimento nesta área da Estatística. (AU)