Singularidade da polar de um germe de curva plana

Resumo

Seja (f) um germe de curva plana irredutível sobre C. A descrição da singularidade da polar de f é um problema aberto desde a época de Max Noether. Resultados obtidos por: Zariski, Casas Alvero, R. Peraire, Hefez e Hernandes, entre outros mostram que podemos realizar um estudo da polar usando ferramentas analíticas, topológicas (Classificação das curvas planas) e Algébricas (O ideal Jacobiano e o polígono de Newton). O problema da classificação das curvas teve seu inicio com os trabalhos de Ebey e Zariski, completados recentemente no trabalho de Hefez e Hernandez. Outra questão envolvendo as curvas algébricas planas é a descrição de sua topologia, que se considerada como um conjunto abstrato, é determinada por seus dados combinatórios (conjunto de componentes irredutíveis, graus e singularidades locais). No entanto, os mergulhos destas curvas no plano projetivo complexo ainda não é bem compreendida - isto é, dadas duas curvas, não se sabe em geral se existe um homeomorfismo do plano projetivo complexo que envia a primeira curva no segundo. Zariski foi o primeiro a provar que este tipo de homeomorfismo não é determinado pelos dados combinatórios da curva. Pretendemos estudar essa lacuna entre os mergulhos de uma curva no plano projetivo complexo e os dados combinatórios da curva. Um caso especial de curvas planas são os arranjos lineares, ou seja uma curva cujos componentes irredutíveis são retas. O estudo dos arranjos de linha admite muitas facetas: combinatória, algébrica, geométrica ou topológica.