Dimensão dos atratores associados a sistemas dinâmicos autônomos e não-autônomos

Resumo

Os principais objetivos deste projeto de estágio são o estudo da dimensão fractal dos atratores de sistemas dinâmicos não autônomos, o estudo dos teoremas de imersão baseados nas dimensões de Hausdorff e fractal, e, por fim, o estudo da dimensão de Assouad de atratores. Nosso primeiro objetivo é buscar estimativas para a dimensão fractal do atrator uniforme de cociclos, que surgem no estudo de sistemas dinâmicos não autônomos. Tentaremos adaptar e aprimorar os resultados em (Cui et al., 2021, Teoremas 3.1 e 3.3) para reduzir as hipóteses sobre o espaço de símbolos Sigma, permitindo que ele tenha dimensão fractal infinita. Como segundo objetivo, pretendemos continuar estudando como a dimensão fractal de um conjunto compacto K em um espaço de Banach X se relaciona com a existência de projeções em X sobre um subconjunto de dimensão finita de X que sejam injetivas em K. Já se sabe que, com controle sobre a dimensão fractal de K, podemos obter projeções que são injetivas em K com uma inversa Hölder contínua, mas ainda não temos resultados que estabeleçam hipóteses sobre K para alcançar uma inversa Lipschitz. Além disso, exploraremos a dimensão de Assouad dos atratores globais de sistemas dinâmicos, uma vez que já sabemos que se A é o atrator global para um semigrupo e a dimensão de Assouad do conjunto diferença A-A é finita, então a dinâmica no atrator assemelha-se à dinâmica descrita no atrator de uma EDO em um espaço de dimensão finita (Pinto de Moura et al., 2010). No entanto, ainda não existe um método geral para estimar a dimensão de Assouad de A - A, e é isso que investigaremos. Este projeto está vinculado ao projeto temático "Sistemas Dinâmicos e seus Atratores sob Perturbação" (FAPESP - número 2020/14075-6), que tem como objetivo estudar de forma abrangente os atratores de sistemas dinâmicos autônomos e não autônomos originados de equações de evolução parabólicas semilineares e quasilineares. (AU)