Novas Fronteiras em Teoria de Singularidades e em Geometria bi-Lipschitz de Germes de Conjuntos Semialgébricos.

• Processo: 24/13488-6
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de setembro de 2024
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Maria Aparecida Soares Ruas
• Beneficiário: Davi Lopes Alves de Medeiros
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 19/21181-0 - Novas fronteiras na Teoria de Singularidades, AP.TEM
• Assunto(s): Singularidades Teoria dos nós Teoria das singularidades
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Classificação bi-Lipschitz | Geometria Lipschitz | Germes Semialgébricos | Lipschitz Normalmente Mergulhado | Singularidades | Teoria dos Nós | Teoria das Singularidades

Resumo

Um dos problemas mais interessantes em geometria é a existência e classificação de extensões de aplicações, seja elas homeomorfismos ou difeomorfismos. Um resultado clássico é o Truque de Alexander, que diz que dois homeomorfismos em Bn isotópicos na fronteira são isotópicos. Tais isotopias, geralmente, não preservam estruturas diferenciais, e exemplos interessantes disso são as esferas exóticas, estudadas por Milnor, Kervaire, Brieskorn e outros.Uma variante "intermediária" desse problema está relacionada com a geometria Lipschitz, cujo resultado mais famoso é o teorema de Kirszbraun, que diz que qualquer aplicação Lipschitz definida num subconjunto dum espaço de Hilbert se estende ao espaço todo. Entretanto, tal aplicação em geral não é bi-Lipschitz, isto é, uma aplicação Lipschitz cuja inversa é Lipschitz. Entender como classificar e estender aplicações bi-Lipschitz é fundamental para a compreensão da geometria de conjuntos analíticos e subanalíticos. De fato, os estudos de Maria Ruas, Alexandre Fernandes, Walter Neumann, Juan Jose Ballesteros, Edson Sampaio e tantos outros, mostram que as estruturas topológicas e diferenciáveis estão intimamente ligadas com suas estruturas Lipschitz.No caso dos germes de conjuntos subanalíticos de dimensão 2, a classificação bi-Lipschitz sob métrica intrínseca foi elucidada por Lev Birbrair em 1999. Quanto ao problema de extensão bi-Lipschitz, Birbrair, Gabrielov e Brandenbursky provaram que, mesmo dois germes em R4 sendo bi-Lipschitz equivalentes pela métrica euclidiana e tal aplicação pudesse ser estendida a uma única classe de homeomorfismo em R4, as possíveis classes de equivalência bi-Lipschitz dessa extensão são infinitas! Tal descoberta descortinou a teoria métrica dos nós, uma teoria que difere da usual porque obstruções métricas podem aparecer na classificação Lipschitz, ainda que os links dessas superfícies não possuam nós.Na tese de doutorado do bolsista de pós-doutorado, Davi Lopes Medeiros demonstrou que, se dois germes de superfícies semialgébricas normalmente mergulhas em R3, com singularidade isolada, são bi-Lipschitz equivalentes pela métrica euclidiana, então tal aplicação pode ser estendida ao ambiente. Tal resultado é pioneiro, pois estabelece num caso específico uma ponte entre o truque de Alexander e o teorema de Kirszbraun, e na referida tese, o autor desenvolve técnicas para análise e extensão de aplicações bi-Lipschitz. Um dos conceitos inovadores lá estabelecidos é o conceito de triângulo sincronizado, um germe de superfície parametrizado que induz uma rigidez no espaço ambiente. Medeiros provou que todo germe de superfície normalmente mergulhada pode ser decompostos em triângulos sincronizados, e a partir disso ele realizou uma análise que resultou no teorema de extensão bi-Lipschitz supracitado.Em toda teoria inovadora, uma pergunta é respondida e muitas outras surgem, e com a teoria métrica dos nós não é diferente. Até que ponto essas técnicas podem ser generalizadas? Podemos construir espaços sincronizados de dimensão maior que 2? Podemos decompor conjuntos analíticos e subanalíticos normalmente mergulhados em Rn, com n maior ou igual a 4? O que acontece com a extensão bi-Lipschitz quando a superfície não tem singularidade isolada? E se a superfície não for normalmente mergulhada, que obstruções adicionais teremos? Foi para responder essas e outras questões, e para estabelecer novas fronteiras em teoria de singularidades que Medeiros decidiu participar deste projeto de pesquisa. A supervisão de Maria Ruas, detentora de uma carreira vasta e brilhante em singularidades, será de suma importância, pois sua grande experiência, unida com a inovação trazida pelo trabalho do bolsista, resultará numa colaboração com potencial de frutos maravilhosos e avanços matemáticos notáveis, que muito engrandecerão o Brasil na comunidade científica.