Avanços teóricos e computacionais em problemas inversos com aplicações para reconstrução tomográfica de imagens

Resumo

O presente projeto aborda dois temas atuais relevantes na matemática aplicada. O primeiro ramo pretende estudar estimadores tipo-Stein que são alternativas exatas, na média e exceto por um termo constante, a erros quadráticos médios não computáveis em problemas inversos e de remoção de ruído. Propomos estender técnicas atuais para que operem com divergências de Bregman mais gerais e, mais importante, estudar propriedades teóricas de concentração de tais estimadores, as quais observamos na prática. Uma aplicação prática para essas técnicas é na escolha de parâmetros em problemas inversos e de remoção de ruído. O segundo ramo que pretendemos estudar relaciona-se com reconstrução iterativa de imagens em tomografia computadorizada. Reconstrução tomográfica de alta resolução é um processo computacionalmente muito intensivo, normalmente levando em torno de $O( n^3 )$ flops para a reconstrução de uma imagem $n \times n$. Algoritmos iterativos executam um número de operações também dessa ordem a cada iteração, tornando a situação ainda pior. O principal objetivo aqui é usar técnicas para projeção/retroprojeção com complexidade $O( n^2 \log n )$ durante a iteração de métodos incrementais rápidos, e executar esses algoritmos em GPGPUs. Isto resultaria no benefício triplo de (i) algoritmos incrementais (ii) utilizando $O( n^2 \log n )$ flops por iteração (iii) rodando em arquiteturas paralelas. (AU)