Existência e multiplicidade de soluções para problemas elípticos com crescimento quadrático no gradiente

Resumo

Neste projeto estudamos propriedades de existência, não-existência, multiplicidade e regularidade das soluções de viscosidade de algumas classes de problemas elípticos com crescimento quadrático no gradiente. Propomos o estudo qualitativo das soluções de equações de segunda e quarta ordens, assim como de sistemas de equações de segunda ordem, visando a caracterização dos contínuos de soluções gerados com a família de problemas a um parâmetro, e o respectivo fenômeno de multiplicidade de soluções no caso em que os coeficientes da equação são ilimitados. Para isso, precisamos empregar métodos topológicos combinados à teoria de regularidade C1-alpha e W2p das soluções, juntamente ao estudo de primeiro autovalor, os quais influenciam sobremaneira a generalidade das hipóteses do problema. Por outro lado, pretendemos verificar se as técnicas puramente não-lineares desenvolvidas na obtenção de estimativas a priori via blow-up para equações de ordem 2 se aplicam à ordem 4 e a sistemas de equações de ordem 2, isto é, desigualdades do tipo Harnack e generalização do princípio do máximo forte de Vázquez para equações totalmente não-lineares. Tal problema dá margem ao estudo de outras propriedades interessantes das soluções, como simetria, regularidade da solução mínima e dos contínuos de soluções obtidos, comportamento assintótico, bem como problemas de natureza dual à de Vázquez. Propomos também analisar de que modo os resultados podem ser aprimorados quando da incorporação de diferentes espaços de funções e de ferramentas variacionais e espectrais, bem como de outras técnicas para obtenção de estimativas a priori, como o método de moving planes de Alexandrov-Serrin e suas variantes.