Sobre a conjectura de Auslander-Reiten

Resumo

Sejam $R$ um anel Noetheriano comutativo com unidade e $M$ um $R$-módulo finitamente gerado. É conhecido que se todo $R$-módulo finitamente gerado $N$ satisfaz a condição de que o $R$-módulo $\mbox{Ext}^{i}_R(M,N)$ é nulo para todo inteiro $i>0$, então $M$ é projetivo. Uma pergunta que surge é a seguinte: se tal condição vale pelo menos para $N=R$ e $N=M$, é possível concluir que $M$ é projetivo? Este problema é conhecido como a conjectura de Auslander-Reiten. Esta conjectura está em aberto há mais de 44 anos, mas ao longo deste tempo já se conhecem alguns casos em que ela vale. Neste projeto identificaremos as ferramentas principais usadas em soluções parciais da conjectura de Auslander-Reiten e pretendemos generalizar alguns casos conhecidos em que ela é valida. Nosso objetivo principal é estabelecer um novo caso não trivial em que a conjectura de Auslander-Reiten é verdadeira e, posteriormente, estabelecer as respectivas consequências. (AU)