Geometria Bilipschitz e resolução de singularidades de superfícies

Resumo

Uma das principais ferramentas da teoria de singularidades é o conceito de resolução de singularidade. Se (X,0) é o germe de uma variedade singular, então a resolução de (X,0) é um germe suave (Y,E) juntamente com uma aplicação própria p de (Y,E) sobre (X,0), tal que a restrição dep a (Y-E) é um isomorfismo sobre (X-0). Existem diversas maneiras de obter uma resolução. O método clássico é através de aplicações repetidas do blow-up normalizado. Este método foi usado por Zariski e mais tarde por Hironaka para provar a existência de resoluções em alguns casos. Um outro método foi obtido mais recentemente por Spivakovsky. O método consiste na aplicação sucessiva de transformações de Nash normalizadas. Uma conjectura de Lê Dúng Tráng afirma que os dois processos são duais. Em anos recentes o estudo da geometria Bilipschitz de singularidades complexas tem despertado um grande interesse. Trata-se do estudo da geometria Bilipschitz com respeito à métrica induzida pela métrica ambiente, e também com relação à métrica intrínseca, que é a métrica induzida pela métrica Riemanniana na parte regular da variedade. O objetivo principal deste projeto é usar a geometria Bilipschitz para explicar a possível dualidade entre resolução através de sucessivos blow-ups normalizados e a resolução através de repetidas transformações de Nash normalizadas. Os resultados serão úteis para estudar a geometria Bilipschitz de classes especiais de superfícies. Neste projeto, os resultados serão aplicados no estudo de superfícies determinantais. (AU)