Potências fracionárias de operadores lineares matriciais e aproximações fracionárias de problemas semilineares

Resumo

Neste trabalho estudaremos problemas de evolução semilineares da forma$$u_t +\Lambda u = F(t,u), t>\tau; u(\tau) = u_0,$$sujeito a perturbações na potência do operador linear, isto é, perturbações dadas por$$(u_{\gamma})_t +\Lambda^{\gamma} u_{\gamma} = F(t,u_{\gamma}), t>\tau; u_{\gamma}(\tau) = u_0,com $\gamma$ em algum intervalo contendo $1$. Nos referimos a essas perturbações como aproximações fracionárias do problema original e estamos interessados em abordar o caso onde as equações são dada na forma de um sistema e o operador linear $\Lambda = [\Lambda_{ij}]_{1\leq i,j \leq n}$ é representado como um operador matricial. O objetivo proposto é inicialmente caracterizar as potências fracionárias de $\Lambda$ em termos de suas entradas $\Lambda_{ij}$, de forma a desenvolver uma teoria sistemática para o cálculo de $\Lambda^{\gamma}$. Essa teoria sistemática será então aplicada ao estudo das perturbações de problemas semilineares via suas aproximações fracionárias. Usaremos essas perturbações para analisar o caso onde a não linearidade $F$ apresenta crescimento crítico, a fim de obter resultados de boa postura local para o problema crítico. Também utilizaremos as aproximações fracionárias para estudar casos onde $F$ não é dissipativa. Veremos como as potências fracionárias impactam a condição de dissipatividade e estudaremos situações onde, com a potência adequada, poder-se-á aproximar um problema não dissipativo por um problema onde há dissipatividade. (AU)