Um estudo sobre a geometria de curvas planas e superfícies em R4

Resumo

O objetivo deste trabalho é estudar a geometria diferencial de superfícies em R^4 e curvas em R^2, usando a teoria de singularidades. No caso de superfícies em R^4, referências recentes podem ser encontradas nos trabalhos de Mochida, Ruas, Romero-Fuster, Garcia e Mond. Mais especificamente, Mond abordou a seguinte questão: Qual a relação existente entre a A-classe dos germes de projeção e a geometria diferencial do mergulho de uma superfície? Sabe-se que a singularidade P_3(c) é A-finitamente determinada se c é diferente dos valores 0,1,1/2 e 3/2. Em sua tese, Mond observa que não foi feito um estudo dessa singularidade com a geometria diferencial do mergulho da superfície em R^4. Pretendemos estudar este problema utilizando resultados recentes sobre direções de projeções de superfícies em R^4 encontrados por Nuño--Ballesteros e Tari. No caso de curvas planas, Fabricius-Bjerre, em 1962, encontrou uma bonita fórmula envolvendo o número de bi-tangências, pontos duplos, e inflexões de uma curva plana fechada. Pretendemos encontrar uma extensão dessa fórmula, tanto algébrica quanto geométrica, para o caso de aplicações de R em R^2. (AU)