Transporte, escape de partículas e propriedades dinâmicas de alguns mapeamentos não lineares

Resumo

(Resumo do projeto original) O escape de um conjunto de partículas clássicas não interagentes se movendo no interior de uma região fechada do espaço é estudado neste projeto. Ao introduzimos um pequeno orifício ou uma região de escape no espaço de fases, o histograma de frequência do número de partículas que escapam, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até um máximo e então tende a zero para um grande número de iterações. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas do tipo Kolmogorov-Arnol'd-Moser (KAM) estão presentes. Ao fazermos a altura do rifício de escape variar proporcionalmente com a posição da primeira curva invariante spanning, podemos obter expoentes críticos (que antes só eram obtidos através da análise da energia média ou desvio da energia média), confirmando uma invariância de escala. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência (que também será objeto de estudo neste projeto). Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: uma partícula confinada em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo. Um mapeamento geral será estudado e mostraremos que ele é capaz de reproduzir vários expoentes críticos de diferentes modelos, quando um parâmetro de controle é variado. Analisaremos um bilhar elíptico-ovóide com dependência temporal em sua fronteira e/ou girando com velocidade angular, e por fim, iremos propor uma generalização para o bilhar anular e de Sinai, onde a fronteira externa pode assumir diferentes formas. Para o caso do bilhar elíptico e/ou ovóide com perturbação temporal introduzida através de giro, sabemos que a velocidade tangencial/normal da fronteira depende da posição da fronteira, e ao colidir com a fronteira a partícula poderá ganhar ou perder energia. Recentemente, Florian Lenz et al [Phys. Rev. Lett. 100, 014103 (2008)] mostraram que a introdução de uma perturbação temporal na fronteira de um bilhar elíptico levou a partícula a sofrer o fenômeno da aceleração de Fermi. Isto aparentemente é uma contradição da conjectura LRA [J. Phys. A 33, 7973 (2000)] que diz que se a dinâmica do sistema para fronteiras estáticas apresenta caos, então a introdução de uma perturbação temporal na fronteira é condição suficiente para se observar aceleração de Fermi. Como o modelo elíptico é integrável, então era de se esperar que não contenha componentes caóticas, logo não deveria apresentar aceleração de Fermi. Porém na Ref. Phys. Rev. Lett. 104, 224101 (2010) observamos uma extensão da conjectura LRA, onde a existência de uma órbita heteroclínica no espaço de fases é condição suficiente para observarmos aceleração de Fermi, ao invés da existência de um conjunto com dinâmica caótica. Pretendemos introduzir a dependência temporal no sistema, em particular a rotação (nunca considerado anteriormente). Investigaremos o comportamento da energia média e da variância da energia média para o regime caótico de baixas energias. Este estudo permite caracterizar uma transição de fases do tipo integrável para não integrável. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar os sistemas como caóticos. (AU)