Geometria Lipschitz de conjuntos singulares moderados e aplicações.

Resumo

Estruturas O-minimais apareceram na teoria de Modelos. Elas podem ser vistas como uma generalização das geometrias semialgébrica e subanalítica. Elas proporcionam um excelente contexto para o desenvolvimento da teoria de topologia moderada (tame topology) proposta por Grothendieck no seu trabalho `Esquisse d'un Programme' em 1984 e se constituem numa plataforma para o estudo de conjuntos singulares mais gerais, nos quais ainda se pode estudar geometria. O objetivo deste projeto é estudar a geometria de conjuntos singulares em estruturas O-minimais, com ênfase em duas direções de investigação. Na primeira parte, propomos estudar a geometria Lipschitz de conjuntos singulares de estruturas log-exp o-minimais. Na segunda parte estudaremos a classificação bi-Lipschitz de germes de aplicações. Part I. Os exemplos mais comuns de estruturas o-minimais são os conjuntos semialgébricos e globalmente subanalíticos. Eles formam estruturas polinomialmente limitadas, isto é, para toda função f : R \to R definível nesta estrutura, existe um a>0 e um inteiro r > 0 tais que |f(x)| \leq x^r para todo x > a. Wilkie provou que a extensão de R pela função exponencial é modelo-completa, e van den Dries e Miller mostraram que a extensão de estruturas polinomialmente limitadas pela aplicações exponencial e logarítmica é o-minimal. Conjuntos definíveis nesta estrutura são chamados conjuntos log-exp. Existe um Teorema de Preparação para conjuntos log-exp devido a Lion e Rolin. Então é natural perguntar se os conjuntos log-exp satisfazem à condição de contractibilidade local e às restrições em cohomologia, como no caso de conjuntos globalmente subanalíticos. Este é um dos principais objetivos deste projeto.Part II. Dois germes de aplicação são equivalentes se eles são ``os mesmos "a menos de difeomorfismos. Podemos também perguntar se dois germes são bi-Lipschitz equivalentes. Henry e Parusinski provaram que enquanto a equivalência bi-Lipschitz de conjuntos analíticos reais ou complexos não admite modalidade, o mesmo não ocorre para germes de funções. Neste projeto pretendemos estudar a A-equivalência bi-Lipschitz de funções e aplicações. O objetivo é estudar invariantes da A-classificação bi-Lipschitz de germes de aplicações holomorfas em dimensões baixas, por exemplo, (2,2) and (2,3).