Teoria qualitativa de equações diferenciais no plano: resultados sobre classificação topológica

Resumo

Sabe-se que um campo de vetores de continuamente diferenciáveis no plano real, a menos de equivalência topológica, fica completamente determinado através de sua configuração separatriz, ou seja, pelos seus pontos críticos, suas separatrizes e de uma órbita em cada região canônica do campo, bem como pela configuração destes elementos. Este resultado é creditado a Markus (quando não há separatrizes limite), ou, de forma mais abrangente (incluindo campos em superfícies e permitindo a existência de separatrizes limite), a Neumann. Em um artigo recente, Espín Buendía e Jiménez López questionaram o resultado de Markus-Neumann, apresentando contraexemplos bem como providenciando sua versão correta. Pretende-se, neste projeto de Mestrado, colocar o estudante a par de toda bibliografia clássica sobre equivalência topológica de campos de vetores planares, desde Kaplan (quando não há singularidades), passando por Markus e Neumann, bem como que ele estude recentes resultados na área, em particular o citado trabalho de Espín Buendía e Jiménez López. O estudante deverá dissertar então sobre os problemas no resultado original, bem como sobre as correções apresentadas. A depender do andamento, estudaremos o problema de descrever as possíveis classes de equivalência de campos polinomiais sem singularidades de um grau fixo, problema em grande parte ainda em aberto.