Singularities of binary differential equation and geometry of surfaces

• Grant number: 08/09106-8
• Support Opportunities: Scholarships abroad - Research
• Start date: January 18, 2009
• End date: June 17, 2009
• Field of knowledge: Physical Sciences and Mathematics - Mathematics - Geometry and Topology
• Principal Investigator: Ana Claudia Nabarro
• Grantee: Ana Claudia Nabarro
• Host Investigator: Farid Tari
• Host Institution: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brazil
• Institution abroad: Durham University (DU), England

Abstract

Muitos trabalhos exploram a geometria de superfícies, através do estudo das singularidades das Equações Diferenciais Binárias (EDBs) provenientes das curvas assintóticas, linhas de curvatura, e curvas características das superfícies. Recentemente foram construídas, para superfícies em $\R^3$, duas famílias naturais a 1-parâmetro de EDBs, C_{alpha}, que relaciona a EDB de curvas assintóticas e a EDB de linhas de curvaturas, e $R_{alpha}$,relacionando a EDB de curvas características e a EDB de linhas de curvaturas. Quando a superfície é deformada em família a 1-parâmetro de superfícies $M_t$, obtém-se famílias a 2-parâmetros de EDBsC_{alpha,t} e $R_{alpha,t}$. Em conjunto com o Professor Tari estudamos as bifurcações das famílias C_{alpha,t} e agora estamos estudando as bifurcações das famílias R_{alpha,t}. As singularidades locais estáveis e de codimensão 1, e as singularidades de codimensão 2 de EDBs e suas bifurcações genéricas são estudadas em artigos do Bruce, Fidal, Tari, Davydov e Guinez. Estamos estudando em que condições e quais destas singularidades aparecem para as famílias $R_{alpha,t}$. A situação neste caso é muito mais complicada que aquela no nosso artigo sobre C_{alpha,t}. Primeiramente terminaremos este projeto. Pretendemos também definir as famílias C_{alpha} e C_{alpha} sobre superfície com métrica Lorentziana e desta forma dar início ao estudo destas famílias sobre superfícies em espaços de Minkowski.Estudaremos também a geometria de superfícies em $\R^3$ dadas por gráficos de polinômios $z=f(x,y)$. Começaremos nosso estudo com superfície definida como o gráfico de um polinômio real de grau 3. Vamos analisar sua geometria investigando o que acontece com alguns conceitos definidos na teoria de singularidades como por exemplo, estimar o número máximo de pontos de cúspide de Gauss,um problema que está relacionado com a conjectura de Arnold 2001-1. (AU)