Soluções globais para equações de onda semi-lineares com coeficientes variáveis

Resumo

Neste projeto pretende-se obter estimativas a priori para equa\c{c}\~oes hiperb\'olicas lineares em espa\c{c}os de Sobolev. Espera-se ser necess\'ario utilizar t\'ecnicas diferentes para frequencias pequenas e grandes, obtendo diferentes tipos de decaimento no tempo em cada regi\~ao do espa\c{c}o de fase. Na sequ\^encia, pretende-se realizar aplica\c{c}\~oes das estimativas obtidas para problemas semilineares. Em particular, provar a exist\^encia de solu\c c\~ao global no tempo, uma vez assumido dados iniciais pequenos. Tamb\'em analisar em quais casos o decaimento da solu\c c\~ao do problema semilinear permace o mesmo do problema linear associado. Pretende-se estudar modelos com coeficientes constantes ou vari\'aveis no tempo. No \'ultimo caso, espera-se que condi\c{c}\~oes sobre regularidade e controle nas oscila\c{c}\~oes deva ser impostas para obter-se boas estimativas de decaimento. Num primeiro momento, pretende-se considerar equa\c{c}\~oes de onda, possivelmente com um termo de dissipa\c{c}\~ao, que pode ser na forma de um operador n\~ao local, como uma pot\^encia fracion\'aria do laplaciano. Tamb\'em tem-se interesse em estudar equa\c{c}\~oes de ordem superior e sistemas de equa\c{c}\~oes de primeira ordem, equa\c{c}\~oes de evolu\c{c}\~ao e modelos abstratos.