Estimativas do tipo L^p-L^q para equações diferenciais parciais hiperbólicas

Resumo

Neste projeto pretende-se obter estimativas a priori para equações diferenciais hiperbólicas lineares em espaços de Sobolev. Analisando os multiplicadores de Fourier dos operadores em questão, espera-se ser necessário utilizar técnicas diferentes para frequências pequenas e grandes, obtendo diferentes tipos de decaimento no tempo em cada região do espaço de fase. Na sequência, pretende-se realizar aplicações das estimativas obtidas para problemas semilineares. Em particular, provar a existência de solução global no tempo, uma vez assumido dados iniciais pequenos. Também analisar em quais casos o decaimento da solução do problema semilinear permanece o mesmo do problema linear associado. Pretende-se estudar modelos com coeficientes constantes ou variáveis no tempo. No último caso, espera-se que condições sobre regularidade e controle nas oscilações deva ser impostas para obter-se boas estimativas de decaimento. Num primeiro momento, pretende-se considerar equações de onda, possivelmente com um termo de dissipação, que pode ser na forma de um operador não local, como uma potência fracionária do laplaciano. Também tem-se interesse em estudar equações de ordem superior e sistemas de equações de primeira ordem, equações de evolução e modelos abstratos. (AU)