Polinômios ortogonais e similares: propriedades e aplicações

Resumo

A teoria de polinômios ortogonais tem vasta aplicação em todos os tipos de problemas da matemática pura e ciências aplicadas. Esses polinômios são ferramentas essenciais para a solução de muitos problemas e vêm contribuindo nos estudos relacionados a equações diferenciais, frações contínuas, estabilidade numérica, algoritmos rápidos e super-rápidos, com aplicações que abrangem da teoria dos números à teoria da aproximação, da combinatória à representação de grupos, da mecânica quântica à física estatística e da teoria de sistemas ao processamento de sinais (ver, por exemplo, os "Proceedings" do "1990 NATO Conference on Orthogonal Polynomials: theory and practice" para muitas informações sobre o assunto). Uma aplicação bem marcante de uma classe de polinômios ortogonais, conhecidos por polinômios de Jacobi, surgiu como parte fundamental da comprovação, dada em 1984 por Louis de Branges, da famosa Conjectura de Bieberbach (proposta em 1916). O grupo de pesquisa em polinômios ortogonais e similares, sediado na UNESP, campus de São José do Rio Preto (GruPOsjrp), tem contribuído para essa teoria e para as teorias de polinômios ortogonais e similares em relação a outros produtos internos (ver a lista de publicação do grupo nas referências bibliográficas). Os pesquisadores principais do grupo são Alagacone Sri Ranga, Cleonice Fátima Bracciali, Dimitar Kolev Dimitrov e Eliana Xavier Linhares de Andrade. Trabalhos recentes do grupo englobam estudos sobre 1) polinômios ortogonais clássicos como definidos acima; 2) polinômios de Szego que são dados em relação a integrais definidas no círculo unitário; 3) polinômios de Laurent ortogonais que requerem medidas com momentos inclusive negativos; e 4) polinômios ortogonais de Sobolev definidos em termos de produtos internos envolvendo derivadas. É muito gratificante ver que esta grande área de pesquisa, que despertou a curiosidade de muitos matemáticos famosos do passado, nos últimos anos tomou-se uma área extremamente ativa. O interesse de pesquisa nessa área é tão grande que foi criado um grupo de atividades na SIAM chamado "SIAM activity group on Orthogonal Polynomials and Special Functions". O interesse de GruPOsjrp é ter uma participação ativa nesta jornada, não somente beneficiando-se com a produção de novos artigos, mas, também, passando os conhecimentos adquiridos para os alunos participantes do grupo, formando uma nova geração de bons pesquisadores brasileiros. (AU)