A dinâmica de equações de evolução governadas por potências fracionárias de operadores fechados

Resumo

O tema do presente projeto de pesquisa \'e o estudo do comportamento assint\'otico de equa\c c\~oes de evolu\c c\~ao aut\^onomas e n\~ao aut\^onomas governadas por pot\^encias fracion\'arias de operadores fechados%, e geradores de semigrupos lineares com decaimento exponencial. Usaremos as pot\^encias fracion\'arias de um operador linear $A: D(A) \subset X \to X$ tal que $-A$ \'{e} o gerador de um semigrupo linear com decaimento exponencial num espa\c co de Banach $X$, para obter e descrever propriedades qualitativas das solu\c c\~oes de problemas do tipo\begin{equation}\label{Problema1}\displaystyle \frac{du}{dt} + Au = f(u),\ t>0,\quad u(0)=u_0\in X,\end{equation}onde $f$ \'e uma aplica\c c\~ao que satisfaz certas condi\c c\~oes de crescimento. A id\'eia central do m\'etodo a ser elaborado \'e considerar aproxima\c c\~oes fracion\'arias de \eqref{Problema1} do tipo\begin{equation}\label{Problema2}\displaystyle \frac{du}{dt} + A^\alpha u = f(u),\ t>0,\quad u(0)=u_0\in X,\end{equation}e estudar a converg\^encia com taxa (em fun\c c\~ao da pot\^encia $\alpha\in[0,1]$) da din\^amica de \eqref{Problema2} quando $\alpha$ tende a 1. Um dos fatos interessantes neste m\'etodo \'e que o problema \eqref{Problema2} \'e mais regular que o problema \eqref{Problema1}, no sentido que, mesmo quando o problema \eqref{Problema1} possui estrutura hiperb\'olica, e suas aproxima\c c\~oes fracion\'arias \eqref{Problema2} possuem estrutura parab\'olica.