Sobre a Estrutura de Dependência nos Entrelaçamentos Aleatórios e o Tempo de Encontro de Passeios Aleatórios em Meios Aleatórios

Resumo

Neste projeto de pesquisa abordamos alguns problemas considerados relevantes no contexto de dois modelos estocásticos bastante conhecidos: o modelo de entrelaçamentos aleatórios e o modelo de passeios aleatórios em meios aleatórios. No contexto dos entrelaçamentos aleatórios, nos propomos a atacar em princípio dois problemas. O primeiro problema diz respeito à caracterização da covariância entre dois eventos convexos neste processo, em termos do seu decaimento com relação à distância entre os conjuntos disjuntos nos quais tais eventos são suportados. O segundo problema, por sua vez, se refere à investigação da desconexão e decaimento da conectividade no conjunto vacante dos entrelaçamentos aleatórios, e neste caso pretendemos especificamente tentar melhorar dois resultados particulares divulgados recentemente na literatura. Como a principal dificuldade no estudo dos entrelaçamentos reside no fato de que este é um modelo de percolação dependente, que apresenta em particular dependência a longa distância, esperamos que os resultados como aqueles que pretendemos obter possam ajudar a entender de forma mais clara determinadas propriedades deste processo. Por outro lado, no contexto dos passeios aleatórios unidimensionais em meios aleatórios, pretendemos complementar os avanços obtidos na literatura com respeito à investigação dos momentos do primeiro tempo de encontro de um par de passeios dentre N passeios independentes, no modelo de Sinai usual. Adicionalmente, pretendemos estudar tais momentos quando este modelo é submetido a um potencial externo específico.