Análise assintótica de sistemas de partículas e matrizes aleatórias

Resumo

Em anos recentes, matrizes aleatórias tem sido aplicadas em uma vasta gama de diferentes áreas científicas, como telecomunicações, física de partículas em alta energia, teoria dos números, aprendizado de máquinas, teoria de grandes dados, sistemas dinâmicos, equações diferenciais, ciência da computação, pra citar apenas alguns. Conexões com sistemas de partículas interagentes se tornam naturais quando se decide olhar para os autovalores, agora aleatórios, destas matrizes. De modo típico, tais valores aleatórios interagem uns com os outros de forma repulsiva, no que se espelha muito com uma variedade de outros sistemas de partículas, tanto em equilíbrio quanto em não-equilíbrio. Em virtude disto, uma das questões fundamentais é entender como autovalores aleatórios se comportam, quando a dimensão da matriz é muito alta, em diferentes regimes de escala. Este projeto propõe explorar vários diferentes aspectos de autovalores de matrizes aleatórias e outros sistemas de partículas relacionados. Propomos estudar como o limite termodinâmico de diferentes sistemas de partículas podem ser compreendidos através de problemas variacionais de equilíbrio, e então utilizar tais interpretações para a análise assintótica dos modelos de interesse, esperando como biproduto também revelar conexões inovadoras com sistemas dinâmicos integráveis. (AU)