Dinâmica assintótica de processos de evolução

Resumo

O objetivo deste projeto \'{e} estudar a din\^{a}mica assint\'{o}tica de processos de evolu\c{c}\~{a}o $\{T(t,s): t\geqslant s\}$ em um espa\c{c}os de Banach de dimens\~{a}o infinita. Mais especificamente, estamos interessados em dois aspectos fundamentais para o estudo da din\^{a}mica assint\'{o}tica; a saber, o estudo de estruturas internas dos atratores pullback e o estudo das propriedades destas estruturas, que possam dar informa\c{c}\~{o}es sobre o atrator pullback. Neste ponto, por exemplo, se inserem a continuidade de atratores pullback atrav\'{e}s da continuidade dos conjuntos inst\'{a}veis locais em processos gradient-like, bem como o c\^{o}mputo da dimens\~{a}o fractal de atratores pullback atrav\'{e}s da dimens\~{a}o fractal dos conjuntos inst\'{a}veis locais.Pretendemos explorar um processo de aproxima\c{c}\~{a}o de problemas semilineares (EDP's parab\'{o}licas e hiperb\'{o}licas) onde os operadores ilimitados s\~{a}o substitu\'{\i}dos por suas aproxima\c{c}\~{o}es de Yosida a fim de estudar a transfer\^{e}ncia de informa\c{c}\~{o}es din\^{a}micas do problema perturbado (com a aproxima\c{c}\~{a}o de Yosida) para o problema limite original. Estas aproxima\c{c}\~{o}es aparecem na literatura em diversos exemplos (embora a passagem ao limite n\~{a}o seja, em geral, explorada para obten\c{c}\~{a}o de informa\c{c}\~{o}es sobre o problema limite). Alguns exemplos s\~{a}o a equa\c{c}\~{a}ao de Navier-Stokes-Voigt e a equa\c{c}\~{a}o de onda fortemente amortecida. Aqui, o nosso objetivo \'{e} obter informa\c{c}\~{o}es sobre a ``continuidade'' das estruturas din\^{a}micas sob estas perturba\c{c}\~{o}es.No que se refere ao estudo de estruturas din\^{a}micas para processos de evolu\c{c}\~{a}o, um dos obst\'{a}culos encontrados est\'{a} fortemente associado \`{a} caracteriza\c{c}\~{a}o da dicotomia exponencial (que substitui o conceito de hiperbolicidade para processos n\~{a}o-aut\^{o}nomos) e sua estabilidade sob perturba\c{c}\~{o}es (ass\'{\i}ncronas ou com fase), j\'{a} que o comportamento assint\'{o}tico na din\^{a}mica forward est\'{a} relacionado a uma fam\'{\i}lia de processos homogeneizados. Trataremos de abordar estas quest\~{o}es em exemplos (infinito dimensionais) com o objetivo de criar uma teoria geral, como a que se encontra em Coppel (Lecture 06).Dando continuidade ao projeto desenvolvido durante o doutorado, vamos estudar mais a fundo as propriedades din\^{a}micas dos atratores pullback para sistemas din\^{a}micos n\~{a}o-aut\^{o}nomos via semigrupo "skew product", transferindo informa\c{c}\~{o}es do sistema dirigente (driving system) para semigrupo ``skew product'' e para o processo de evolu\c{c}\~{a}o associado.