Álgebras de Lie e de Jordan, suas representações e generalizações

Resumo

A maior parte do projeto será dedicada às álgebras e superálgebras de Lie e de Jordan, que são as principais classes de álgebras não associativas. Além disso, as álgebras e superálgebras alternativas e de Malcev serão consideradas, assim como os loops de Moufang e várias generalizações de álgebras mencionadas acima. As linhas do projeto de pesquisa concentram-se nos seguintes temas: 1) estrutura e representações de álgebras; 2) aspectos geométricos da teoria de álgebras; 3) aspectos combinatórios da teoria de álgebras; 4) aplicações e generalizações. As questões típicas da primeira linha tratam do estudo e classificação de estruturas simples (os blocos de construção atômicos principais dos quais todas outras estruturas estão formadas): álgebras e superálgebras simples e primas, módulos irredutíveis e indecomponíveis, módulos de Verma e suas generalizações, etc. Além disso, o problema de especialidade será estudado para álgebras de Jordan e de Malcev. Na segunda linha, estudaremos a estrutura de certas variedades algébricas relacionadas com as álgebras de dimensão finita e com várias categorias de representações de álgebras. A parte combinatória de teoria de álgebras tem muitos aspectos comuns nos casos associativos e não associativo, tanto em problemas estudados quanto em métodos de solução. Por exemplo, a teoria de PI-álgebras desempenhou um papel importantíssimo na classificação de álgebras simples alternativas e de Jordan. Por outro lado, as álgebras de colchetes de Poisson (que são não associativas) mostraram sua importância para o estudo de automorfismos de álgebra de polinômios. Portanto, nesta parte de pesquisa nós consideramos tanto as álgebras associativas quanto não associativas. Estudaremos automorfismos e subálgebras de álgebras livres, identidades de álgebras e superálgebras em várias classes. Tentaremos também estender alguns aspectos da teoria de álgebras de Hopf para álgebras não associativas. Finalmente, na parte de aplicações e generalizações, consideraremos os loops de Moufang, que têm uma forte relação com as álgebras alternativas, e algumas generalizações das álgebras de Jordan. (AU)